رمزگشایی از معمای ۲۰۰ ساله جبر؛ دانشمندان معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا را حل کردند
حل یکی از قدیمی‌ترین چالش‌های جبری، دستاورد کوچکی در مسیر شهرت علمی به شمار نمی‌رود و اینک نورمن وایلدبرگر توانسته چنین دستاوردی را به نام خود ثبت کند. این ریاضی‌دان، موفق شده آنچه را که «معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا» نامیده می‌شود، حل کند؛ مسئله‌ای که از تقریباً ۲۰۰ سال پیش، ذهن متخصصان را به خود مشغول کرده است.
به‌گزارس ساینس‌آلرت، وایلدبرگر، استاد دانشگاه نیو ساوت ولز (UNSW) در استرالیا، همراه با دین روبین، دانشمند علوم کامپیوتر، روی مقاله‌ای همکاری کرده که چگونگی انجام این محاسبات بسیار پیچیده را شرح می‌دهد. وایلدبرگر می‌گوید: «این بازنگری چشمگیری در یکی از فصل‌های بنیادی جبر است. راه‌حل ما کتابی را که پیش‌تر در تاریخ ریاضیات بسته شده بود، دوباره گشوده است.»
عکاس: (Wildberger & Rubine / The American Mathematical Monthly
همان‌طور که شاید انتظار داشته باشید، درک سازوکار روش محاسبات برای کسانی که نابغه‌ی جبر نیستند آسان نیست. به‌طور کلی، چندجمله‌ای‌ها معادلاتی هستند که شامل متغیرهایی با توان‌های صحیح و نامنفی‌اند (برای مثال: x³). وقتی این توان‌ها به پنج یا بیشتر می‌رسند، با معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا روبه‌رو هستیم.
ریاضیدانان پیش‌تر راه‌حل‌هایی برای معادلات با مرتبه‌های پایین‌تر یافته‌اند، اما تصور می‌شد حل دقیق معادلات مرتبه بالا غیرممکن باشد. تا پیش از این تحقیق، تمام راه‌حل‌ها تقریبی بودند. برخی از معادلات درجه پنج اصلاً قابل‌حل نیستند. نه به این معنا که «خیلی سخت» محسوب می‌شوند، بلکه از سال ۱۸۲۴ به اثبات رسیده که معادلاتی از درجه پنج یا بالاتر وجود دارند که با رادیکال‌ها (ریشه‌ها) حل‌پذیر نیستند.
محققان روش جدیدی برای حل معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا یافتند
وایلدبرگر و روبین رویکردی نوین را برای حل معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا اتخاذ کردند که بر پایه‌ی اعداد کاتالان استوار است. این اعداد در مباحث پیشرفته‌ی شمارش و آرایش‌های عددی، از جمله شمارش تعداد راه‌های تقسیم چندضلعی‌ها به مثلث‌ها کاربرد دارند.
محققان با گسترش مفهوم اعداد کاتالان، توانستند نشان دهند که این اعداد می‌توانند مبنایی برای حل معادلات چندجمله‌ای در هر مرتبه باشند. بخشی از این روش هوشمندانه شامل توسعه‌ی شمارش چندضلعی‌ها به اشکالی فراتر از مثلث‌ها بود. این رویکرد، روشی متفاوت از شیوه‌های سنتی حل چنین معادلاتی با استفاده از عبارات رادیکالی (مانند ریشه دوم و سوم) به‌شمار می‌آید و در عوض، بر پایه‌ی ترکیبیات استوار است؛ یعنی شمارش اعداد، اما به شیوه‌هایی فزاینده پیچیده و پیشرفته.
بیشتر بخوانید
وایلدبرگر می‌گوید: «اعداد کاتالان به‌طور شناخته‌شده‌ای با معادلات درجه دوم مرتبط هستند. نوآوری ما در این است که اگر بخواهیم معادلات با مرتبه‌های بالاتر را حل کنیم، باید به‌دنبال نسخه‌های پیشرفته‌تر از اعداد کاتالان باشیم.»
محققان روش جدید خود را با چند معادله‌ی معروف گذشته، از جمله معادله‌ی درجه‌سومی که توسط جان والیس مطالعه شده بود، مقایسه کردند. نتایج عددی به‌درستی با پیش‌بینی‌ها تطابق داشت و درستی کار را تأیید کرد. وایلدبرگر و روبین به همین‌جا بسنده نکردند. آن‌ها همچنین ساختاری جدید در ریاضیات کشف کردند که آن را «ژئود» (Geode) نام نهادند. این ساختار با اعداد کاتالان در پیوند است و به‌نظر می‌رسد پایه‌ای برای آن‌ها به شمار می‌رود. پژوهشگران بر این باورند که ژئود می‌تواند زمینه‌ساز مطالعات و کشفیات بسیاری در آینده باشد.
از آن‌جا که رویکرد اتخاذشده در تحقیق جدید کاملاً متفاوت از روش‌های پیشین است، امکان بازنگری در بسیاری از مفاهیم کلیدی که ریاضیدانان مدت‌ها به آن‌ها در زمینه الگوریتم‌های کامپیوتری، ساختاردهی داده‌ها و نظریه‌ی بازی تکیه داشته‌اند، فراهم می‌شود. حتی ممکن است این روش در زیست‌شناسی نیز کاربرد داشته باشد؛ مثلاً برای شمارش حالت‌های تا‌شدن مولکول آر‌ان‌ای. ویلدبرگر می‌گوید: «این محاسبه‌ای بنیادی در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات کاربردی است و بنابراین، فرصتی برای بهبود الگوریتم‌ها در گستره‌ای وسیع از حوزه‌ها خواهد بود.»
مقاله در مجله The American Mathematical Monthly منتشر شده است.
