معماری بی‌نهایت: فراکتال‌؛ از کاشی‌کاری‌های پیچیده ایرانی تا طراحی آنتن موبایل

این پدیده که به «پارادوکس خط ساحلی» معروف شد، اثباتی بر ناکارآمدی هندسه‌ی اقلیدسی در توصیف اشکال نامنظم طبیعت بود و راه را برای توسعه‌ی هندسه‌ی فراکتالی هموار کرد.

آیا کسی هست که فراکتال‌ها را دوست نداشته باشد؟ این ساختارهای شگفت‌انگیز، ترکیبی از سادگی و پیچیدگی هستند و اغلب الگوهایی دارند که تا بی‌نهایت تکرار می‌شوند. برنامه‌نویسان علاقه‌ی خاصی به فراکتال‌ها دارند، زیرا با چند خط کد ساده می‌توانند تصاویری خلق کنند که بسیار پیچیده‌تر از هر چیزی است که بتوان با دست طراحی کرد.

در بخش قبل با تعریف فراکتال و تاریخچه‌ی آن آشنا شدیم، اما آیا واقعاً می‌دانیم فراکتال چیست؟ بسیاری از افراد فکر می‌کنند که فراکتال‌ها، شکل‌هایی کاملاً خودمتشابه هستند؛ یعنی اگر روی آن‌ها زوم کنیم، نسخه‌ای دقیقاً مشابه شکل اصلی را خواهیم دید.

به‌عنوان مثال، برف‌دانه‌ی کخ (Von Koch Snowflake) از سه قسمت تشکیل شده و در هر مقیاسی که به آن نگاه کنیم، دقیقاً همان شکل اولیه را بازتولید می‌کند. به‌طور مشابه، مثلث سرپینسکی (Sierpinski Triangle) از سه نسخه‌ی کوچک‌تر و کاملاً مشابه خودش ساخته شده است.

اگرچه الگوهای خودمتشابه جذاب و زیبا هستند، اما دیدگاه مندلبرو، فراتر از این بود. او به‌دنبال مفهومی بود که نه فقط از نظر بصری زیبا باشد، بلکه بتواند ناهمواری‌ها و بی‌نظمی‌های طبیعت را هم مدل‌سازی کند.

هندسه‌ی فراکتالی در برخی موارد، دیدگاه حساب دیفرانسیل و انتگرال را به چالش می‌کشد. در این شاخه از ریاضیات، فرض بر آن است که با بزرگ کردن یک شکل، در نهایت به سطحی کاملاً صاف و هموار می‌رسیم؛ اما مندلبرو این دیدگاه را بیش از حد ساده‌شده می‌دانست.

به نظر او، چنین مدلی جزئیات ریز و مهم را نادیده می‌گیرد؛ جزئیاتی که در بسیاری از موارد، نقش کلیدی دارند. جالب است بدانید که هندسه‌ی فراکتالی برای توصیف پیچیدگی‌های دنیای واقعی ایجاد شد، نه برای ایجاد مدل‌های کاملاً منظم و ایدئال.

طبیعت سرشار از ناهمواری و بی‌نظمی است، اما در همین آشفتگی‌ها، الگوهای پنهانی وجود دارند که هندسه‌ی فراکتالی آن‌ها را آشکار می‌کند. برخلاف حساب دیفرانسیل که تلاش می‌کند دنیا را هموار و ساده نشان دهد، هندسه‌ی فراکتالی می‌گوید: همه‌چیز همیشه مرتب و صاف نیست، اما این به معنای بی‌نظمی کامل هم نیست.

وقتی به یک خط، یک مربع یا یک مکعب فکر می‌کنیم، به‌سادگی می‌توانیم بگوییم که هرکدام به‌ترتیب یک، دو و سه بُعد دارند. اما در هندسه‌ی فراکتالی، مفهوم بُعد کمی عجیب‌تر می‌شود. اینجا دیگر ابعاد همیشه عدد صحیح نیستند، بلکه می‌توانند اعدادی اعشاری باشند.

به‌عنوان مثال، بُعدِ مثلث سرپینسکی حدود ۱٫۵۸۵ است و منحنی فون‌کخ، بُعدی نزدیک به ۱٫۲۶۲ دارد. حتی شکل‌هایی که در طبیعت می‌بینیم، مانند خط ساحلی بریتانیا، بعدی کسری دارند. یعنی این اشکال، چیزی بین یک‌بعد و دوبعد هستند.

به‌طور کلی، در هندسه‌ی فراکتالی، می‌توان شکل‌هایی داشت که بُعد آن‌ها هر عدد حقیقی مثبتی باشد، نه فقط اعداد صحیح. این ویژگی، یکی از شگفت‌انگیزترین تفاوت‌های فراکتال‌ها با هندسه‌ی کلاسیک محسوب می‌شود و نشان می‌دهد که دنیا خیلی پیچیده‌تر از آن چیزی است که با خطوط ساده و سطوح صاف توصیف شود.

اگر یک دانشجوی تازه‌کار جبر خطی باشید، احتمالاً با این حرف که ابعاد باید اعداد طبیعی باشند، کاملاً موافقید. پس اینکه کسی بگوید «بُعد این شکل برابر ۱٫۵۸۵ است» عجیب و غیرمنطقی به‌نظر می‌رسد. اما اینجا یک نکته‌ی جالب وجود دارد: تمام مفاهیم ریاضی ساختگی هستند. این مفاهیم را برای درک بهتر جهان، تعریف می‌کنیم.

سؤال اصلی در مورد واقعی بودن بُعد کسری نیست، بلکه آن است که آیا می‌تواند در توصیف جهان به ما کمک کند. پاسخ، برخلاف انتظار، یک بله‌ی قاطع است. فراکتال‌ها ثابت کرده‌اند که این مفهومِ ظاهراً عجیب، ابزاری قدرتمند برای مدل‌سازی بسیاری از پدیده‌های پیچیده‌ی طبیعی است.

پس از درک مفهوم بُعد فراکتالی، متوجه خواهید شد که این ایده در همه‌جا حضور دارد. اما برای شروع، بهتر است ابتدا سراغ شکل‌های کاملاً خودمتشابه برویم، یعنی اشکالی که اگر آن‌ها را به بخش‌های کوچک‌تر تقسیم کنیم، هر بخش دقیقاً نسخه‌ای کوچک‌تر از شکل اصلی خواهد بود.

برای انجام این کار، یک خط، یک مربع، یک مکعب و یک مثلث سرپینسکی را در نظر می‌گیریم. سه مورد اول اصلاً فراکتال نیستند، اما همگی خودمتشابهند.

• یک خط را در نظر بگیرید. اگر آن را از وسط نصف کنیم، دو بخش جدید، هرکدام نسخه‌ای کوچک‌تر از خط اصلی خواهند بود.